Colegio de
estudios científicos y tecnológicos del estado de Oaxaca
EMSaD NO.59 TALEA DE CASTRO
Asignatura: Calculo Diferencial.
Docente: Ing.Joel Alegría Salinas.
Trabajo:Historia Del Cálculo .
Alumnos: Fredy Adán, Alheli
Guadalupe, Berenice, Erik, Eliel .
Grupo: Semestre:
#502 5º Lugar: Talea de Castro .
Historia Del Cálculo Diferencial
Presentación
El blog fue creado con la intención de dar información a la persona que lo requiera con el tema "Historia Del Cálculo" y sea de agrado y beneficio para el lector. Dando relevantes algunos puntos de la intención del texto.
1. La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes ramas
de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y leyes.
2. El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de
conciencia de sus impactos social, económico y ambiental.
ƒ
Introducción
El Cálculo constituye
una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez
construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el
álgebra y la
aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva
teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe,
indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy
interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula,
desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento
en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva
teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para
el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El
Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de
dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con
los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo
XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría
construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. Sus aplicaciones son
difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra
forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje
matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la
tecnología moderna. Newton y Leibniz son considerados los inventores del
cálculo, o más bien dicho, coinventores,
pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos
antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus
antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la
precisión
necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su
desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de
visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y
Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos
hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de
Oresme, Arquímedes y Eudoro. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo
inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón,
Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e
histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas
decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por
Descartes y Fermat. Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más,
el cálculo de Newton y Leibniz
seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución
científica que vivió la Europa del siglo XVII.
Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción
matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso
una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza
que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta
ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las
importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el
Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están
en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que,
esencialmente, somos parte. El extraordinario avance registrado por la
matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo
debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como
una
de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse
orgulloso.
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| Isaac Newton |
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| Tales De Mileto |
Objetivo
El objetivo de este blog es la facilitación de información referente a El Cálculo y sus antecedentes históricos, asi como los contribuyentes a su creación y desarrollo a lo largo de los años, en el blog se trata de tomar la información mas importante y relevante del tema para una comprensión mas fácil y rápida que favorezcan al lector ya sea estudiante o cualquier persona que requiera la información.
Competencias
a Desarrollar
Explica e interpreta los
resultados obtenidos en el análisis de la evolución histórica del estudio del
cálculo y los contrasta con su aplicación en situaciones reales.
Antecedentes históricos
El Cálculo
Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones
del Cálculo Diferencial e Integral. El Cálculo es la matemática del cambio:
velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas
tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides,
curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros
y economistas puedan modelar situaciones de la vida real. El cálculo es
fundamentalmente diferente de las matemáticas que hayas estudiado con anterioridad.
Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades,
aceleraciones, rectas tangentes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental
entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al
cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. El cálculo
se interesa en el cambio y en el movimiento; trata de cantidades que se
aproximan a otras cantidades.
El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo
En sus
comienzos el cálculo fue desarrollado para
estudiar cuatro problemas
científicos
y matemáticos:
1. Encontrar la tangente a una curva en un
punto.
2. Encontrar el valor máximo o mínimo de una
cantidad.
3. Encontrar la longitud de una curva, el área
de una región y el volumen de un sólido.
4. Dada una fórmula de la distancia recorrida
por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la
aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula
en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante ,
encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo
conocido.
En parte
estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo,
concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm
Leibniz y el físico-matemático inglés
Isaac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma
casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están
motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tr atara a las variables
como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un
carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como
un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada
sino de in crementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales.
La
difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones
escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver
con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas
y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el
siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la
presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de
problemas concretos.
El siglo XVIII
Durante
buena parte del siglo los discípulos de
Newton y Leibniz
se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física,
astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos
nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el
cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva.
Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica,
realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría
de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió
Teoría analítica de las probabilidades
(1812) y el clásico Mecánica
celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre
de "el Newton francés".
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| Teoría analítica de las probabilidades |
Euler
escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en
modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como
físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un
desarrollo adecuado y justificado de las
ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática
y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de
Lagrange era completamente algebraico ,
y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos
sistemas eran inadecuados en
comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue
resuelto hasta el siglo posterior.
El siglo XIX
Un
problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el
Gauss
desarrolló la geometría no euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que
pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple
de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Los
fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el
siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento
(1854).
Siglo XX y nuestros días
Es
importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría
de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos
que lo sucedieron. En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo
lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de
forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés
problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática
del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran
parte de los trabajos matemáticos del siglo. El avance originado por la
invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a
ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas,
y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos.
Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría
de números, las ecuaciones diferenciales
y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a
varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.
Antecesores Del Cálculo
Pierre Fermat: (1601-1665),
matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para
determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del Cálculo
Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz.
Dicha obra influenció en Leibniz en la invención del Cálculo
Diferencial. Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por
aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros,
por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin
de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación, ya que existía gran
rivalidad entre franceses, alemanes e ingleses, razón por la que las demostraciones
de Fermat se hayan perdido. Hizo además aportaciones a la geometría analítica,
la teoría de números y la probabilidad.
Nicolás Óresme: obispo de la
comunidad de Lisieux, Francia, estableció que: en la proximidad del punto de
una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía
más pausadamente.
Johannes Kepler: tiempo después,
coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat en
su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a
cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva e n los
puntos en que la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es
paralela al eje x donde la pendiente de la tangente es nula.
Isaac Barrow: (Londres, 1630
- id., 4 de mayo,1677), maestro de Newton, construyó
el “triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal
de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas
y las ordenadas de los extremos del arco.
Joseph-Louis Lagrange:
(1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema del Valor Medio. Se dice
que Napoleón dijo de él un día: “Lagrange es la altiva pirámide de las ciencias
matemáticas”.
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| Lagrange |
Augustin-Louis Cauchy: (París, 21 de agosto
de 1789- Sceaux,
23 de mayo de 1857), matemático francés, impulsor del
Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las Funciones de las
Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones de
“función de función” y la de “función compuesta” se deben a él. El concepto
de función continua fue introducido por primera vez por él en
1821.
Leonhard Euler: (1707-1783). La
simbología F(X)se debe a él, quien además de hacer importantes contribuciones a
casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los primeros en aplicar el
cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos publicados
incluyen temas co mo construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica
y magnetismo.
John Wallis: (Ashford, 23 de noviembre de 1616
– Oxford, 28 de octubre
de 1703), enuncia el concepto de “límite”. La representación simbólica
“lím” se debe a Simón L. huilier ( n.
Ginebra, Suiza el 24 de abril de 1750, f. en Ginebra el 28
de marzo de 1840).
El
símbolo “tiende a” lo propuso J. G. Leathem.
Karl Weierstrass: matemático
alemán, se encargó de dar formalidad y estructura a la noción intuitiva de
límite.
Peter Gustav Dirichlet:
(1805-1859) fue quien dio la primera definición moderna de función. Al
principio del desarrollo del cálculo, la definición de función era mucho más
restringida que en la actualidad, y no se habían considerado funciones como la
de Dirichlet.
Jacobo Bernoulli: introduce la
palabra “función” en el Cálculo Diferencial.
Niels Henrik Abel: (1802.1829) y
Evariste Galois (1811-1832). Aunque sus vidas fueron breves, sus trabajos en
los campos del análisis y del álgebra
abstracta fueron de gran alcance.
Zenón de Elea: alrededor de 450
a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por
ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible: Si un cuerpo se mueve de A a B
entonces, antes de llegar a B
pasa por el punto medio, B1, de
AB. Ahora bien, para llegar a
B1 debe primero pasar por el
punto medio B2 de
AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe
moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede
moverse.
Arquímedes:
alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más
significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un
segmento de parábola es 4/3 del área del
triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes
construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de
área A
y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la
parábola para obtener áreas.
Tres
matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer
contribuciones importantes. Eran Fermat,
Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método delos indivisibles' por
los intentos de integración de Kepler.
No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le
ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por
componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'.
Demostró, usando estos métodos, que la integral de xnentre 0 y
a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para
ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.
Descartes: produjo un importante método para deteminar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intersección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.
Huygens: criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que
lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse
una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran
influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la
producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.
Conclusiones
El
progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente
delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son
desechados, reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la
realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las
características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado
como conocimiento científico, determinaron
los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y
las contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida
cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta.
Bibliografias
